Fraktal matematik

Broccolo (ibland Romanesco) är ett exempel på en naturlig approximativ fraktal.

En fraktal är ett självlikformigt med mönster med struktur i alla skalor, vilket betyder att det liknar sig självt på samma sätt som ett träds grenar i sin tur har likadana fast mindre grenar, en så kallad naturlig fraktal. De fraktala mönstren

(i 2D) eller strukturerna (vid 3D) skapas vanligtvis genom olika matematiska transformationer som upprepas (itereras) ett stort antal gånger.

Historia

Fraktalträd

Ordet fraktal skapades på 1970-talet av den franske matematikern Benoit B. Mandelbrot och kommer av latinets fractus som betyder ”bruten” (fraktion) och syftar på att fraktaler ofta har dimensionstal som inte är heltal. En sierpinskitriangel har till exempel dimensionen Vog 3 / Vog 2 /approx 1,58.

Mandelbrot är den person som populariserat fraktalmatematik, men var inte den förste att arbeta med liknande system. Redan 100 år tidigare skapades de första fraktala funktionerna av bland annat Georg Cantor och Giuseppe Peano. Svensken Helge von Koch beskrev redan år 1904 Koch-kurvan och von Kochs snöflinga. Andra pionjärer var till exempel Pierre Fatou, Gaston Julia och Karl Menger.

Fraktalers dimension

Supersamplad juliafraktal

Fraktaler har ofta en dimension som inte är ett heltal. Med detta menas att det inte går att mäta storleken på en fraktal med vanliga längd- area- eller volymmått. Exempelvis har von Kochs snöflingekurva oändlig längd, men arian noll. Används däremot ett mått som mäter i dimensionen in 4/In 3, snöflingekurvans dimension, har den ändlig storlek. Det finns olika sätt att konstruera mått som mäter icke-heltalsdimensioner, ett exempel är:

Lägg ett rutnät med sidolängderna δ över mängden som skall mätas. Låt antalet rutor som tillhör mängden vara N(δ). Om δ → 0 så är mängdens mått i dimension d gränsvärdet av N(δ)δ^d. Om mängden är en kurva och d = 1 så blir detta mått lika med kurvans längd, om mängden är en yta och d = 2 så blir detta mått lika med ytans area. Å andra sidan om mängden är en kurva och d = 2 så blir måttet 0, vilket är rimligt eftersom en kurva har arean 0. Om detta mått används för att mäta storlek, har en fraktal ändligt mått större än noll om och endast om d är lådräkningsdimensionen. Ett annat mått som kan mäta icke-heltalsdimensioner är Hausdorffmåttet. Om en fraktal har ändligt och positivt Hausdorffmått av dimension d, har den Hausdorffdimensionen d. I många fall, men inte alla, överensstämmer lådräkningsdimensionen med Hausdorffdimensionen.^[1]

Naturens matematik

Figur 1. Detta är datorgrafik föreställande en ormbunke, renderat med en matematisk funktion.

Skapandet med IFS

För att skapa en orbunksliknade fraktal som i figur 1 används ett itererat funktionssystem (IFS) där funktionerna är ett system av fyra olika affina transformationsregler. Den affina transformationen kan exempelvis vara:

$\ {x_{n+1} = a x_n - c y_n + e}$

$\ {y_{n+1} = b x_n + d y_n + f}$

För att skapa ormbunksbladet har konstanterna i de fyra reglerna värdena

IFS	a	b	c	d	e	f
1	0,0	0,35	0,0	0,0	0,0	0,7
2	0,2	0,23	0,26	0,22	0,0	1,3
3	-0,15	0,26	-0,28	0,24	0,0	0,44
4	0,85	-0,04	-0,04	0,85	0,0	1,6

Den första regeln är den som skapar bladets ”stam” och som synes är konstanterna a, c, e, samtliga lika med 0 (noll) vilket kommer att sätta variabeln x till noll. Stammen har ingen bredd, bara höjd, vilket betyder att den har endast en dimension. Anledningen till att den syns är endast den att datorgrafik är digital, skärmens punkter har en minsta möjlig utbredning (det går inte att visa mindre än en pixel). Som nämnts ovan är en fraktal självsimulerande. De övriga reglerna kopierar stammen och skapar de mindre ( sekundära) bladens stammar som inte heller de är utbredda i mer än en dimension. Upprepas någon av dessa regler flera gånger i rad kommer stammen för den tredje nivån att skapas och så vidare. Hela orbunksbladet består egentligen inte av något av bladstammar som inte har någon utbredning. Om man betraktar det från en strikt matematisk synvinkel skulle det vara osynligt. Bladet syns endast på grund av att det visas med den digitalt begränsade datorgrafiken och är alltså inte någon matematisk beräkning som skapar ett ormbunksblad, bara endimensionella linjer som egentligen är osynliga. Ett riktigt ormbunksblad däremot består av tredimensionella celler av flera olika typer.

”

De ekvationssystem som beskriver modellsystem inom modern teoretisk ekologi är kända för sina kaotiska beteenden, så mycket att de numera har ett mycket större intresse som leksaker, eller en ny slags grafik. Naturliga fenomens matematik blir, när de begränsas till en enstaka disciplin, så intrikat och komplicerad att värld efter värld av färgglada abstraktioner öppnar sig för varje ny nivå som undersöks. Det är inte så konstigt att de som ägnar sig åt detta inom olika ämnesområden tror att det fantasivärldar de ser ger glimtar av den verkliga världen, när de i själva verket gått vilse i Mandelbrots fraktalvärld.

„

— James Lovelock i

boken The Ages of Gaia

Kända fraktaler

Exempelbilder av fraktaler

Linjära fraktaler i 2D:

Sierpinskitriangel

von Kochs snöflinga

Harter-Heighways drakkurva

Linjära fraktaler i 3D:

Sierpinskitetraed

Cantordamm

Mengers tvättsvamp

Icke linjära fraktaler:

Mandelbrotmängden

Newton-Raphsons iterationsmetod

Juliamängden

Se även

Rum

Topologi · Geometri · Trigonometri · Algebraisk geometri · Differentialgeometri · Algebraisk topologi · Linjär algebra · Fraktal geometri · Kompakt rum